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    數學家證明ABC猜想:意義重大,卻無人能識?

    來源:TechTMT.Com  作者:整理  日期:2020-05-24 15:09:32

    2012年8月30日,43歲的日本數學家、京都大學教授望月新一在數學系主頁上貼了4篇論文,通過總共長達512頁的艱深推理(當代數學論文多為10~20頁),他宣稱自己解決了數學史上最富傳奇色彩的未解猜想:ABC猜想。

    望月新一

    ABC猜想在27年前由Masser和Oesterlé分別獨立提出。自那時以來,鮮有數學家敢于嘗試證明它的正確性,而先前號稱自己證明了該猜想的人,經由數學界檢查,他們的證明也都因各種錯漏而被否認。望月新一解決難題的能力廣為人知,所以數學界必定會認真研究他的論文,從全局的思維過程到最細枝末節的精巧構造,就正確與否給出一個答案。

    但是,問題來了:誰能看得懂這套證明,并且明白證明背后建立起來的新數學理論的哲學?James D. Taylor在著名數學論壇MathOverflow上發了 一個帖子 ,很多數學家,包括菲爾茲獎得主陶哲軒和望月新一的好友、牛津大學教授金明迥也參與了討論;最后大家得出的答案是:沒人看得懂。

    現代數學研究的機制已經趨于成熟,一個問題總是基于前人的工作和對相關問題的理解而提出的,解決問題的機制也多為已知方法的變種。2003年,佩雷爾曼證明了統一人類對三維宇宙認識的龐伽萊猜想,用的是上世紀80年代漢密爾頓引入微分幾何的研究方法“Ricci曲率流”;幾百年前費馬聲稱空白太窄寫不下證明過程的費馬最后定理,懷爾斯爵士在上世紀上世紀80年代證明該猜想時,用的也是上世紀50年代建立起來高階橢圓曲線的模形式理論。

    望月新一遇到的情況卻有點不同。他已經在ABC猜想的證明工作上獨自思考了20年,建立起了他稱之為“宇宙際Teichmüller理論”的新世界,定義了各種前所未有的神秘術語,比如第一篇論文講了“霍奇影院”(Hodge Theater)的構造,第二篇論文則引入了“外星算數全純結構”(alien arithmetic holomorphic structures)。

    代數幾何和數論領域的大多數資深數學工作者都認為,望月的理論過于玄妙,不值得花上幾年時間去仔細閱讀,弄清楚新定義的術語、推理的脈絡和理論的結構。誠然,最壞的可能是,到頭來大家發現這個新理論把自己繞進了死胡同;當然,最好的結果是,望月的證明建立起了新的數學分支,將代數幾何和數論統一起來。

    望月論文中宇宙際Teichmüller理論的定義和數論中傳統概念的比較

    ABC猜想到底在猜測什么?

    讀者們,你們即將經歷數學中最為抽象、仿佛起源于虛無的數論和代數幾何的結合體。這里的理論無法用圖示去說明,是在把解方程這件事情綜合分析得出“對稱”、“互質”之流的結構之后,進一步抽象得到的結構的結構。

    簡單來說,就是有3個數:a、b和c =a+b,如果這3個數互質,沒有大于1的公共因子,那么將這3個數不重復的質因子相乘得到的d, “幾乎一定”會比c大。舉個例子:a=2,b=7,c=a+b=9=3*3。這3個數是互質的,那么不重復的因子相乘就有d=2*7*3=42>c=9。大家還可以實驗幾組數,比如:3+7=10,4+11=15,

    但是,上面所述之內容,并非猜想的全貌,而且依照上面的算法去找a+b=c,還居然存在反例!著名的ABC@home 網站 就在用分布式計算尋找ABC猜想的反例,其中一個反例是3+125=128:其中125=5 3 ,128=2 7 ,那么不重復的質因子相乘就是3*5*2=30

    這就是ABC猜想的表述了,聽起來好像不如以前我們知道的數論中的猜想那樣精確直觀。比如費馬最后定理:a n + b n = c n ,當n大于等于3時就沒有整數解了。又比如哥德巴赫猜想:一個數一定表示成兩個質數之和。ABC猜想不但涉及加法(兩個數之和),又包含乘法(質因子相乘),接著還模糊地帶有點乘方(1+ε次方),最坑爹的是還有反例存在?這實在有點山寨——如果你這樣想,那就太小瞧這個猜想了。實際上,除了尚未解決的涉及多個數學分支的猜想界皇冠黎曼猜想以外,與ABC猜想的影響力相比,其他數論中的猜想,諸如哥德巴赫猜想、孿生質數猜想,以及已經解決的費馬最后定理,都只能算是戰斗力只有5的渣滓。

    ABC猜想為何如此重要?

    首先,ABC猜想,對于數論研究者來說,是反直覺的。

    歷史上反直覺的卻又被驗證為正確的理論,數不勝數。一旦反直覺的理論被證實是正確的,基本上都改變了科學發展的進程。舉一個例子:牛頓力學的慣性定律,物體若不受外力就會保持目前的運動狀態,這在17世紀無疑是一個重量級的思想炸彈。“物體不受力當然會從運動變為停止”,這是當時的普通人基于每天的經驗得出的正常思想。而實際上,這種想法,在任何一個于20世紀學習過初中物理、知道有種力叫摩擦力的人來看,都會顯得過于幼稚。但對于當時的人們來說,慣性定理的確是相當違反人類常識的!

    ABC猜想之于現在的數論研究者,就好比牛頓慣性定律之于17世紀的普通人,更是違反數學上的常識。這一常識就是:“a和b的質因子與它們之和的質因子,應該沒有任何聯系。” 原因之一就是,允許加法和乘法在代數上交互,會產生無限可能和不可解問題,比如關于丟番圖方程統一方法論的希爾伯特第十問題,早就被證明是不可能的。如果ABC猜想被證明是正確的,那么加法、乘法和質數之間,一定存在人類已知數學理論從未觸及過的神秘關聯。

    質數螺旋

    再者,ABC猜想和其他很多數論中的未解問題有著重大聯系。

    比如剛才提到的丟番圖方程問題、費馬最后定理的推廣猜想、Mordell猜想、Erd?s–Woods猜想,等等等等。而且,ABC猜想還能間接推導出很多已被證明的重要結果,比如費馬最后定理。從這個角度來講,ABC猜想是質數結構的未知宇宙的強力探測器,僅次于黎曼猜想。

    其次,我們來看望月用了什么數學工具來解決ABC猜想。

    望月開始埋頭研究ABC猜想的證明時,距猜想提出不過10年,而且幾乎沒有任何進展,望月可以說是幾乎從零開始的。之所以說 “幾乎”,是因為望月20多歲時,在“遠阿貝爾幾何”[1]領域中作出過超卓貢獻,還被邀請到4年一屆的國際數學家大會上演講。然而,1988年柏林的數學家大會結束之后,望月就從學術界消失,潛心于他自己的宇宙去證明ABC猜想了。他用的理論工具,正是“遠阿貝爾幾何”。

    可以說,望月證明ABC猜想的目的之一,就是要把遠阿貝爾幾何發揚光大。遠阿貝爾幾何這個數學分支,由代數幾何教皇格羅騰迪克于上個世紀80年代創建,研究對象是不同幾何物體上的代數簇的基本群的結構相似性。

    在富有傳奇色彩的麗沃夫咖啡館,近代分析學之父巴納赫說:“數學家能找到定理之間的相似之處,優秀的數學家能看到證明之間的相似之處,卓越的數學家能察覺到數學分支之間的相似之處。最后,究級的數學家能俯瞰這些相似之處之間的相似之處。” 格羅騰迪克,便落入了巴納赫分類的究級數學家之列,遠阿貝爾幾何便是一門研究“相似之相似”的數學分支:16世紀,的卡爾達諾研究3次方程求根;19世紀,伽羅瓦發現特殊高次方程解的群結構;代數幾何中的代數簇,則是一大類方程的公共解;代數簇的基本群,則是對于已經綜合了一大類理論的代數簇理論的再一次綜合,關心什么樣的結構獨立于幾何物體的代數簇的表象之外。

    球射影空間上的代數簇

    于是乎,對于數學家來說,檢查望月的證明是否存在錯漏的另外一個難題就是:要透徹理解望月那512頁的ABC猜想的證明,需要先弄懂望月關于遠阿貝爾幾何的750頁的著作!全世界總共只有約50名數學家在這方面有足夠的背景知識去通讀望月這本遠阿貝爾幾何著作,更別提望月在證明猜想中建立起來的“宇宙際Teichmüller理論”了。目前為止,自稱“宇宙際幾何學者”的望月,是他自己創造出的宇宙中的獨行者。

    之前提到的望月的好友、牛津大學教授金明迥說:“讀證明,對數學家來說,也是非常痛苦的。說服大多數代數幾何學者去閱讀需要如此之多基礎知識的證明,更是一件難事。” 當然,這并不代表沒有數學家在檢查望月的證明,2012年10月,斯坦福大學教授Akshay Venkatesh函至望月,指出第3篇和第4篇論文中的錯誤。望月也迅速答復,承認了錯誤,并說明該錯誤對整體理論并無影響。

    證明發表之后,懷疑之聲不絕于耳。因為從直覺上來講,ABC猜想如果被證明正確,對于數論的影響之巨大,無異于相對論和量子物理之于現代物理學。有些人認為,要是ABC猜想被證明,世界就太美好了,仿佛身處幻境。

    大多數數論工作者希望,望月能夠就他的證明寫出一個綜述,將整套理論的邏輯脈絡展現給大家,比如為什么要引入定理X和概念Y,怎么層層推進到最終猜想的證明。設立千禧年大獎的克雷數學研究所也在考慮邀請望月開辦一個討論班,邀請世界上最優秀的數論和代數幾何學家參加,大家一同學習這個新理論。

    不過,關于望月新一本人,他在發布證明之后拒絕了任何采訪,而且他不喜好社交。在Google上搜索關于望月新一的背景介紹,中文鏈接中可讀的,唯有盧昌海發布在他個人主頁上的 文章 :“望月新一 1969年3月29 日出生于日本東京, 16歲進入美國普林斯頓大學就讀本科, 三年后進入研究生院,師從著名德國數學家、 1986年菲爾茨獎得主法爾廷斯, 23歲(即 1992 年) 獲得數學博士學位。此后,他先是 、‘海歸’ 成了京都大學 數理解析研究所的研究助理,幾個月后又前往美國哈佛大學從事了近兩年的研究, 然后重返京都大學。2002 年, 33 歲的望月新一成為了京都大學數理解析研究所的教授。望月新一的學術聲譽頗佳, 曾獲得過日本學術獎章等榮譽。”

    關于望月的這種出世的行事方法,金明迥作出的評價是:“當你沉浸在自己的理論宇宙中太久,你會察覺不到他人對于你的理論的困惑,因為你先入為主地假設了所有人都明白很多基礎知識。”

    故事到此就告一段落了,大家都在見證歷史。

    來源:數學與人工智能

    分類:數學
    標簽:數學
    編輯:techtmt
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